1+1=2:我們為什么信賴算術?


作者:???時間:2018年03月07日??瀏覽:??字號選擇〖????〗


【編者按】

達納·麥肯齊,普林斯頓大學數學博士,科普作家。他早年在杜克大學等知名學府教了13年的數學,后專事寫作。《無言的宇宙》講述的是人類歷史上24個美麗而偉大的公式背后的故事,從最基本的1 + 1 = 2到揭示電磁現象的“麥克斯韋方程”,從著名的愛因斯坦質能公式E = mc2到神秘的“漢密爾頓的四元數方程”——在深諳“數學之美”的人看來,這些方程在訴說著關于宇宙的永恒秘密,沒有任何一種人類的表達方式可以與之匹敵。
本文選自該書第一章《我們為什么信賴算術:世界上最簡單的公式》,由澎湃新聞經“未讀”授權發布。

1加1等于2,這或許是所有公式中最基本的一個。簡單明了、亙古不變、毋庸置疑……但究竟是誰第一個寫下了這一公式?它與其他的算術公式來自何方?我們如何知道它們是正確的?這些問題的答案遠非一目了然。
令人驚訝的一點是,古代數學中有關加法討論的證據不多。人們發現的巴比倫陶土書板和埃及紙莎草文獻中充斥著乘法與除法表,但卻沒有加法表,也沒有“1+1=2”。看上去,加法是太明顯的事實,用不著什么解釋,而乘法和除法的情況則不同。原因之一或許是在許多文化中使用較為簡單的計數系統。例如,在埃及,人們把一個像324這樣的數字寫成三個“一百”的符號、兩個“十”的符號和四個“一”的符號。要把兩個數字相加,人們就把它們所有的符號放置在一起,必要時把十個“一”換成一個“十”,以此類推。這跟我們現在不時地把零錢放到一起,然后用較大面額的紙幣置換較小面額的錢幣非常相似。誰也不需要記住1+1=2,因為 | 和 | 的和顯然就是 || 。
對此的一個簡單的解釋是:在數軸上,2是1右面的下一個數字。然而,自20世紀早期以降,邏輯學家們更愿意通過集合論定義自然數。于是這一公式的大體意思就是:任何兩個不相交的只有一個元素的集合的并集是一個有兩個元素的集合。
在古代中國,算術計算是在算盤的某種前身——“計算板”上進行的,其中用小棒為個、十、百等數位計數。同樣,加法就是直接把恰當數目的小棒合并到一起,必要時進位到下一欄。沒什么需要記憶的。然而乘法表(九九表)就是另一碼事了。這是一個重要的工具,因為乘法8×9=72 要比把9個8加起來快。
另外一個觀念上極其重要的差別是,沒有任何一種古代文化,無論是巴比倫文化、埃及文化、中國文化或者任何其他文化有著與我們今天的現代概念完全一樣的“等式”概念。人們用一般的詞語寫成的完整句子或者一些步驟來表達數學上的想法。因此,認為某種文化“了解”某個等式或者另一種文化不了解這一等式,這種說法不大靠得住。現代形式的等式是在一段一千多年的時期中逐步產生的。在公元250年前后,亞歷山大港的丟番圖開始使用一個字母的縮寫(或以數學歷史學家的語言說,即“縮略”標記法),來代替經常使用的詞如“和”“積”等等。用x與y這樣的字母來代表未知數量的想法很久以后才出現在歐洲,大約時間為16世紀后期。而等號這個今天實際上每個等式中都有的成分則直到1557年才第一次出場亮相。在羅伯特·雷科德所著《礪智石》一書中,作者雄辯地解釋道:“而且,為了避免對‘等于’這個詞的乏味重復,我建議,可以像我在工作中經常做的那樣,用兩條等長的平行孿生短線代替之,其形如====;因為這是比任何其他事物都更相等的東西。”(雷科德的原文用古體英語,其中“Gemowe”的意思是“孿生”。注意,雷科德的等號比我們今天用的長得多。)
所以,盡管數學家幾千年來都心照不宣地知道1+1=2,但直到16世紀的某一天為止,這一等式或許并沒有寫成我們今天的形式。而且直到19世紀之前,數學家們都一直沒有探究過我們相信這一等式的原因。
在整個19世紀中,數學家開始認識到,他們的前輩過分經常地依賴于一些隱藏的假定,而這些假定并不總是可以很容易地證明為真的(而且有時候是錯誤的)。打破古代數學堅冰的第一道裂縫出現于19世紀初葉,即非歐幾何的發現。如果連偉大的歐幾里得做出的假定都并非無懈可擊,那么數學中還有哪些部分能夠令人安之若素呢?
19世紀晚期,更具哲學傾向的數學家如利奧波德·克羅內克、朱塞佩·皮亞諾、大衛·希爾伯特和伯特蘭·羅素等,開始非常認真仔細地檢查數學的基礎。他們在考慮:哪些東西是我們真正能夠確信無疑地知道的。我們是否能夠為數學找到一套基本假定,并可以證明它們是自洽的呢?
上圖為打開算術之門的鑰匙:杰姆什德·阿爾卡什(1390—1450)的一份阿拉伯文手稿。
德國數學家克羅內克認為,自然數1,2,3,……是上帝的恩賜。因此不言自明,像等式1+1=2這類算術定律是可靠的。但大部分邏輯學家反對他的觀點,他們認為集合這一概念比整數更為基本。“1+1=2”這一陳述到底意味著什么?從根本上說,這意味著,當含有一個元素的集合與同樣含有一個元素的集合合并時,所得到的并集總是含有兩個元素。但要讓這種說法說得通,我們就需要回答一連串新問題,例如集合的意義是什么、有關集合我們知道些什么、為什么我們會知道這些,等等。
1910年,數學家阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德與哲學家伯特蘭·羅素共同發表了一部題為《數學原理》的三卷本巨著。該書篇幅浩大、立論深奧,很可能是試圖重鑄算術,將之歸為集合理論的一個分支。人們自然不會把這部書拿給一個八歲大的孩子看,以此向他解釋1+1=2的緣由。在第一卷洋洋362頁之后,懷特海德和羅素終于得到了一個命題,他們說:“當算術加法得到了定義,隨之便可以得出1+1=2的結論。”注意,他們其實還沒有解釋什么是加法。直到第二卷,他們才有空考慮這一問題。定理“1+1=2”真正出現在第二卷的86頁。他們以幽默的筆觸在那里輕描淡寫地寫道:“上述命題偶爾會有用處。”
上圖為約前2000年—前1600年的一塊寫有楔形文字手稿的陶土書板敘述了一個代數—幾何問題。
本書不擬在此嘲笑懷特海德和羅素,因為在與集合論中出人意料的困難做斗爭的人們中,他們屬于兩位先驅者。例如,羅素發現,對集合的某些操作是不允許的,其中包括不可能定義一個“所有集合的集合”,因為這一概念會導致自相矛盾。這是在數學中從來都不允許的事情:某一陳述永遠不會同時正確又同時錯誤。
但這卻導致了另外一個問題。羅素和懷特海德小心地避免了“所有集合的集合”可以導致的自相矛盾,但我們能不能完全肯定,他們的公理就不會把我們引向其他尚未發現的自相矛盾呢?1931年,這一問題的答案以令人驚訝的方式出現。當時奧地利邏輯學家庫爾特•哥德爾發表了一篇題為《試論〈數學原理〉中的形式上不可判定的陳述及相關系統》的論文,直指懷特海德和羅素著作之非。哥德爾證明,永遠無法證明任何足以推導算術規則的集合論規則是自洽的。換言之,總有可能在某一天,某人將就 1+1=3提出一項完全有理有據的證明。不僅如此,這項可能性永遠都會存在;只要我們把我們的算術建立在集合論的基礎上,就永遠無法絕對保證我們使用的算術是自洽的。
其實,數學家們并沒有因為算術有自相矛盾的可能性而寢食難安。一個可能的原因是,大部分數學家強烈地感覺到,數字,以及我們研究的大量其他數學創造物,都代表了超越了人類思維的客觀現實。如果是這樣,出現能夠證明1+1既等于2又等于3這類矛盾陳述的可能性就微乎其微。邏輯學家們將之稱為“柏拉圖主義者”的觀點。
“典型的數學家在工作日里是柏拉圖主義者,而在星期天是形式主義者。”菲利普·戴維斯和魯本·赫斯在他們1981年出版的《數學經驗》一書中這樣寫道。換言之,當我們必須做出正式陳述時,我們將不得不承認,我們無法斷言數學中不存在矛盾;但我們不會因此而中斷我們的數學工作。
應該補充的一點可能是,那些不是數學家的科學家在一周的每一天中都是柏拉圖主義者。他們從來沒有一刻懷疑過1+1會不等于2。而且他們這樣做或許自有道理。對算術自洽性的最佳辯護是:人類使用算術凡5000年,但我們還從來沒有發現過任何矛盾之處。對算術的客觀性與普適性的最佳辯護是這一事實:與任何其他語言、宗教或信仰系統相比,在穿越文化與時間界限方面算術最為成功。的確,搜尋地外生命的科學家經常假定,我們能夠解碼的第一份來自地外世界的信息將以數學形式發送,因為數學是最為廣泛接受的宇宙通用語言。
我們知道1+1=2,這是因為我們可以通過普遍接受的集合論原理證明這一點,或者因為我們是柏拉圖主義者。但我們不知道我們知道這一點,因為我們無法證明集合論是自洽的。這或許就是當那個八歲孩子問我們“為什么”的時候我們所能給出的最好答案。
《無言的宇宙:隱藏在24個數學公式背后的故事》,[美]達納·麥肯齊著,李永學譯,北京聯合出版公司2018年1月。


· 相關信息 ·
 
 

Produced By 大漢網絡 大漢版通發布系統 新凤凰彩票_新凤凰彩票平台_新凤凰彩票官网